Inicio

Main Menu

Contenidos

Material Secundaria

webs amigas

  • Webs Científicas
    • Cienciateca
      Web dedicada a la divulgacón científica en todas sus vertientes. Artículos de opinión, textos científicos, historias de la ciencia. Su zona de artículos de divulgación es genial.
    • Casanchi
      Web con contenidos científicos en español. Trata temas de forma general con apartados que dividen distintas categorías científicas. Muy interesante y didáctica.
    • J.Ramón Casanova
      Web sobre temas científicos variados. Muy amena, entretenida y actualizada. Monforte de Lemos debe ser un lugar maravillos para vivir.
División de la circunferencia Imprimir Correo electrónico
Escrito por José Luis Pro Martín   
Martes 14 de Agosto de 2007 12:46

Pasamos a uno de los problemas clásicos de la geometría clásica: la división de la circunferencia en un número igual de partes.

Este problema es equivalente a encontrar los polígonos regulares inscritos en una circunferencia dada, ya que al dividir la circunferencia en partes iguales nos quedan cuerdas iguales en todos los puntos y los ángulos que subtienden cada una de las cuerdas son iguales, con lo que coincide con la definición de polígono regular.

En este tema sólo veremos aquellos polígonos básicos para los que existe un método para dividir la cir cunferencia de forma exacta hasta veinte lados.


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

  • Problema 57

Enunciado

Dividir una circunferencia en tres partes iguales o construir el triángulo equilátero inscrito.

Image

Datos

  1. Una circunferencia c con centro en O.

Solución

  1. Dibujamos cualquier diámetro de la circunferencia.
  2. Los puntos de corte con la circunferencia serán O1 y A.
  3. Trazamos un arco con centro en A y radio AO.
  4. Los puntos de corte con la circunferencia serán los puntos O2 y O3.
  5. Unimos los tres puntos para conseguir el triángulo.

Experimento interactivo 57: Construir el triángulo equilátero inscrito en la circunferencia.  


  • Problema 58

Enunciado

Dividir una circunferencia en cuatro partes iguales o construir el cuadrado inscrito.

Image

Datos

  1. Una circunferencia c con centro en O.

Solución

  1. Dibuje una circunferencia con centro c y radio O.
  2. Dibuje una recta d que pase por O.
  3. Los puntos de corte serán O1 y O3.
  4. Trazamos la mediatriz del segmento O1-O3 (m).
  5. Los puntos de corte de m con c serán O2 y O4.
  6. Unimos los cuatro puntos para conseguir el cuadrado.

Experimento interactivo 58: Construir el cuadrado inscrito en la circunferencia.


  • n Problema 59

Enunciado

Dividir una circunferencia en cinco partes iguales o construir el péntagono regular inscrito.

Image

Datos

  1. Una circunferencia c con centro en O.

Solución

  1. Dibuje una circunferencia c con centro O.
  2. Dibujar una recta d que pase por O.
  3. Los puntos de corte de d con c serán A y B.
  4. Trazo la mediatr iz del segmento AB (m).
  5. Los puntos de corte de m con c serán O1 y C.
  6. Trazo la mediatriz del segmento OB (m1).
  7. El punto de corte entre d y m1 será E.
  8. Trazo un arco con centro en E y radio E-O1.
  9. El punto de corte con d será D.
  10. Trazo otro arco con centro en O1 y radio O1-D.
  11. Los puntos de corte con c serán O2-O5.
  12. Trazamos un arco con centro en O2 y radio O2-O1.
  13. El punto de corte del arco con c será O3.
  14. Trazamos un arco con centro en O5 y radio O2-O1.
  15. El punto de corte con c será O4.
  16. Unimos los cinco puntos para obtener el pentágono.

Experimento interactivo 59: C onstruir el pentágono regular inscrito en la circunferencia.  


  • Problema 60

Enunciado

Dividir una circunferencia en cinco partes iguales o construir el péntagono regular inscrito. Segundo método.

Image

Datos

  1. Una circunferencia c con centro en O.

Solución

< ol>
  • Dibuje una circunferencia c con centro en O.
  • Dibuje una recta cualquiera que pase por O (d).
  • Los puntos de corte de d con c serán los puntos A y B.
  • Trazamos la mediatriz del segmento AB.
  • Los puntos de cruce de la mediatriz con c serán O1 y C.
  • Trazo la mediatriz del segmento OB (m1).
  • El punto de cruce con m1 y d será el E.
  • Trazo la recta (r) que une E con C.
  • Trazamos un arco con centro en E y radio O E.
  • El punto de corte con r será el punto D.
  • Trazamos otro arco con centro en C y radio CD.
  • Los puntos de corte con la circunferencia c serán O3 y O4.
  • Trazamos otro arco con centro en O1 y radio O3-O4.
  • Los puntos de corte con c serán O5 y O2.
  • Unimos los puntos para conseguir el pentágono.
  • Experimento interactivo 60: Construir el pentágo no regular inscrito en la circunferencia. Segundo método.


    • Problema 61

    Enunciado

    Dividir una circunferencia en seis partes iguales o construir el hexágono regular inscrito.

    Image

    Datos

    1. Una circunferencia c con centro en O.

    Solución

    r
    1. En primer lugar dibuje una circunferencia c con centro en O.
    2. Dibujar una recta d que pase por O.
    3. Nos quedamos con los puntos de corte de d con c (O1 y O4).
    4. Trazo un arco con centro en O1 y radio O1-O.
    5. Los puntos de corte con c serán O2 y O6.
    6. Trazar otro arco con centro en O2 y radio O-O1.
    7. El punto de corte con c será O3.
    8. Trazar un arco más con centro en O6 y radio O1-O.
    9. El punto de corte con c será O5.
    10. Unimos los puntos para conseguir el hexágono.

    Experimento interactivo 61: Construir el hexágono regular inscrito en la circunferencia.  


    • Problema 62

    Enunciado

    Dividir una circunferencia en ocho partes iguales o construir el octógono regular inscrito.

    Image

    Datos

    1. Una circunferencia c con centro en O.

    Solución

    1. Dibuje una circunferencia con centro en c y radio O.
    2. Dibuje ahora una recta d que pase por O.
    3. Los puntos de corte con c serán C y D.
    4. Trazamos la mediatriz de los puntos C y D (m).
    5. Los puntos de corte de c con m serán A y O1.
    6. Trazo la bisectriz del ángulo O-O1-C.
    7. El punto de corte de la bisectriz con c será O2.
    8. Expandimos la longitud O1-O2 por la circunferencia c.
    9. Unimos los puntos para obtener el octógono.

    Experimento interactivo 62: Construir el octógono regular inscrito en la circunferencia.  


    • Problema 63

    Enunciado

    Dividir una circunferencia en diez partes iguales o construir el decágono regular inscrito.

    Image

    Datos

    1. Una circunferencia c con centro en O.

    Solución

    1. En primer lugar dibuje una circunferencia c con centro en O.
    2. Dibuje una recta d centrada en O.
    3. Los puntos de corte de c con d nos dará A y B.
    4. Trazo la mediatriz del segmento AB (m).
    5. Los puntos de corte de m con c serán O1 y C.
    6. Trazo la mediatriz del segmento OB (m1).
    7. El punto de corte de m1 con d será E.
    8. Trazo un arco con centro E y radio O1-E.
    9. Y me quedo con el punto de corte con d (D).
    10. Trazo un arco con centro en O1 y radio O-D.
    11. El punto de corte con c será O2.
    12. Expandimos la lon gitud O1-O2 por la circunferencia c.
    13. Unimos los puntos para obtener el decágono.

    Experimento interactivo 63: Construir el decágono regular inscrito en la circunferencia.  


    • Problema 64

    Enunciado

    Dividir una circunferencia en diez partes iguales o construir el decágono regular inscrito. Segundo método.

    Image

    Datos

    1. Una circunferencia c con centro en O.

    Solución

    1. Dibuje una circunferencia c centrada en O.
    2. Dibujar una recta cualquiera que pase por O (d).
    3. Los puntos de corte con c serán A y B.
    4. Trazamos la mediatriz del segmento AB (m).
    5. Los puntos de cruce de m con c serán los punt os O1 y C.
    6. Trazamos la mediatriz del segmento OB.
    7. El punto de cruce de m1 con d será el punto E.
    8. Trazo la recta que une E con C.
    9. Trazamos un arco con centro en E y radio EO.
    10. El punto de corte del arco con r será el punto D.
    11. Trazamos otro arco con centro en O1 y radio DC.
    12. El punto de corte con c será O2.
    13. Expandimos la longitud O1-O2 por la circunferencia c.
    14. Unimos los puntos para c onseguir el decágono.

    Experimento interactivo 64: Construir el decágono regular inscrito en la circunferencia. Segundo método.  


    • Problema 65

    Enunciado

    Dividir una circunferencia en doce partes iguales o construir el dodecágono regular inscrito.

    Image

    Datos

    1. Una circunferencia c con centro en O.

    Solución

    1. En primer lugar dibuje una circunferencia c con centro en O.
    2. Trazar cualquier recta d que pase por O.
    3. Los puntos de corte de d con c serán los puntos O1 y O7.
    4. Trazamos la mediatriz del segmento O1-O7 (m).
    5. Los puntos de cruce de c con m serán los puntos O4 y O10.
    6. Trazamos un arco con centro en O1 y radio O-O1.
    7. Los puntos de cruce con c serán O3 y O11.
    8. Trazamos un arco con centro en O7 y radio O-O1.
    9. Los puntos de cruce con c serán O5 y O9.
    10. Trazamos un arco con centro en O4 y radio O-O1.
    11. Los puntos de cruce con c serán O2 y O6.
    12. Trazamos un arco con centro en O10 y radio O-O1.
    13. Los puntos de cruce con c serán O8 y O12.
    14. Unimos los puntos para conseguir el dodecágono.

    Experimento interactivo 65: Construir el dodecágono regular inscrito en la circunferencia.  


    • Problema 66

    Enunciado

    Dividir una circunferencia en quince partes iguales o construir el pentadecágono regular inscrito.

    Image

    Datos

    1. Una circunferencia c con centro en O.

    Solución

    1. En primer lugar dibuje una circunferencia c con centro en O.
    2. Dibuje cualquier recta que pase por O (d).
    3. Los puntos de corte de c y d serán los puntos C y Q.
    4. Trazamos la mediatriz del segmento CQ (m).
    5. Los puntos de corte de c con m serán A y P.
    6. Trazamos la mediatriz del segmento PO (s).
    7. El punto de c orte de s con m será M.
    8. Trazamos una circunferencia e con centro en P y radio PO.
    9. El punto de corte de e con c será O1.
    10. Trazamos una circunferencia g con centro en M y radio MQ.
    11. El punto de corte de g con m será R.
    12. Trazamos una circunferencia f con centro en P y radio PR.
    13. El punto de corte de f con c será O2.
    14. Expandimos la longitud O1-O2 por la circunferencia c.
    15. Unimos los puntos para conseguir el pentadecágono.
      < /li>

    Experimento interactivo 66: Construir el pentadecágono regular inscrito en la circunferencia.  


    • Problema 67

    Enunciado

    Dividir una circunferencia en dieciseis partes iguales o construir el hexadecágono regular inscrito.

    Image

    Datos

    1. Una circunferencia c con centro en O.

    Solución

    1. En primer lugar dibuje una circunferencia c con centro O.
    2. Dibuje una recta d que pase por O.
    3. Los puntos de corte con c serán los puntos D y C.
    4. Trazo la mediatriz del segmento CD.
    5. Los puntos de cruce con c serán A y O1.
    6. Trazo la bisectriz O1-O-C.
    7. Me quedo con el punto de cor te E con la circunferencia c.
    8. Trazo la bisectriz O1-O-E.
    9. Me quedo con el punto de corte O2 con la circunferencia c.
    10. Expandimos la longitud O1-O2 por la circunferencia c.
    11. Unimos los puntos para conseguir el hexadecágono.

    Experimento interactivo 67: Construir el hexadecágono regular inscrito en la circunferencia.  


    • Problema 68

    Enunciado

    Dividir una circunferencia en diecisiete partes iguales o construir el heptadecágono regular inscrito.

    Image

    Datos

    1. Una circunferencia c con centro en O.

    Solución

    1. En primer lugar trace una circunferencia c con centro en O.
    2. Dibuje una recta cualquiera (r) que pase por O.
    3. Los puntos de corte con c son A y A1.
    4. Trazamos la mediatriz del segmento A1-A (s).
    5. Los puntos de corte de s con c serán B1 y B.
    6. Trazamos un arco de circunferencia con centro en B y radio BO.
    7. Los puntos de corte con c serán C y D.
    8. Trazamos la recta CD.
    9. Y nos quedamos con el punto de corte de la recta con s (E).
    10. Trazamos la mediatriz del segmento O-E.
    11. El punto de corte de esta mediatriz c on s será el punto H.
    12. Trazamos la bisectriz AHO.
    13. El punto de corte de la bisectriz con r será H'.
    14. Trazamos la bisectriz HH'O.
    15. El punto de corte de la bisectriz con r será I.
    16. Trazamos una perpendicular a esta bisectriz por H (p).
    17. El punto de corte de p con c será el punto B'.
    18. Trazamos la bisectriz IHB'.
    19. El punto de corte de esta bisectriz con r será J.
    20. Trazamos la mediatriz del segmento AJ.
    21. El punto de corte de esta mediatriz con r será K.
    22. Trazo una circunferencia (c2) con centro en K y radio KA.
    23. El punto de corte de c2 con s será el punto L.
    24. Trazo una circunferencia (c3) con centro en I y radio IL.
    25. Los puntos de corte de c3 con r serán M y N.
    26. Trazamos una perpendicular a r por M (pp1).
    27. Trazamos una perpendicular a r por N (pp2).
    28. El punto de corte de pp1 con c será P y el de pp2 con c será O1.
    29. Trazamos la bisectriz P-O-O1.
    30. El punto de corte de la bisectriz con c será el punto O2.
    31. Expandimos la longitud O1-O2 por la circunferencia c.
    32. Unimos los puntos para conseguir el heptadecágono.

    Experimento interactivo 68: Construir el heptadecágono regular inscrito en la circunferencia.  


    • Problema 69

    Enunciado

    Dividir una circunferencia en veinte partes iguales o construir el icoságono regular inscrito.

    Image

    Datos

    1. Una circunferencia c con centro en O.

    Solución

    1. Trazar una circunferencia c con centro en O.
    2. Trazar cualquier recta d que pase por O.
    3. Los puntos de corte de d con c serán C y D.
    4. Trazamos la mediatriz del segmento CD (m).
    5. Los puntos de corte de c con m serán A y O1.
    6. Trazar la mediatriz del segmento OD (s).
    7. Trazamos el punto de cruce de las rectas s y d (E).
    8. Trazamos la recta que une O1 y E.
    9. Dibujamos una circunferencia con centro en E y radio OE (c1).
    10. El punto de corte con r será N.
    11. Trazamos un arco con centro en O1 y radio O1-N.
    12. n
    13. El punto de corte con c será G.
    14. Trazamos el segmento OG.
    15. Calculamos la bisectriz O1-O-G.
    16. El punto de cruce de la bisectriz con c será el punto O2.
    17. Expandimos la longitud O1-O2 por la circunferencia c.
    18. Unimos los puntos para conseguir el icoságono.

    Experimento interactivo 69: Construir el icoságono regular inscrito en la circunferencia.  


    	Bibliografía
    	
    • Dibujo técnico. I, Trazado geométrico / Mario González Monsalve, Julián Palencia Cortés 
    • Métodos gráficos de resolución de problemas geométricos / Gonzalo Sánchez Vázquez

     

    Última actualización el Miércoles 22 de Abril de 2009 20:50