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Construcción de polígonos Imprimir Correo electrónico
Escrito por José Luis Pro Martín   
Lunes 10 de Septiembre de 2007 10:17

Pasamos a una serie de problemas relacionados aún con la construcción de polígonos regulares en el plano. Normalmente se conoce cierto dato del polígono, como por ejemplo uno de los lados, y se intenta construir el mismo partiendo del dato. 

Lo más habitual es basarse en el tema anterior, es decir, partimos de un dato del polígono y lo que haremos será construir la circunferencia en la que el polígono quedará inscrito más adelante.

En este tema sólo trataremos con los polígonos que se pueden construir de forma exacta con regla y compás.


CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES

  • Problema 76

Enunciado

Construir un pentágono regular conocido el lado.

Image

Datos

  1. El lado AB del pentágono regular.

r Solución

  1. Trazamos la perpendicular a r que pasa por B (s).
  2. Trazamos la mediatriz m del segmento AB.
  3. El punto de cruce de m con r será el punto O.
  4. Trazar un arco (c) con centro en B y radio AB.
  5. Que corta a s en M.
  6. Trazar un arco con centro en O y radio OM.
  7. Que corta a r en S.
  8. Trazar un arco con centro en A y radio AS.
  9. Que corta a c en C.
  10. Y que corta a m en D.
  11. Trazar un arco con centro en A y radio AB.
  12. Trazar un arco con centro en D y radio AB.
  13. El punto de corte de los dos arcos será E.
  14. Unimos los puntos para conseguir el pentágono regular.

Experimento interactivo 76: Construir un pentágono regular conocido el lado.  


  • Problema 77

Enunciado

Construir un pentágono regular conocido el lado. Segundo método.

Image

Datos

  1. El lado AB del pentágono a construir.

Solución

  1. Dibuje una recta r.
  2. Marque un punto de la recta (A).
  3. Marque otro punto de la recta (B).
  4. El segmento AB será el lado del pentágono.
  5. Trazamos la mediatriz m del segmento AB.
  6. Trazar una circunferencia con centro en A y radio AB.
  7. Trazar una circunferencia con centro en B y radio AB.
  8. Los puntos de corte será n C y C'.
  9. Trazar otra circunferencia con centro en C y radio CA.
  10. Sean E, F y D los puntos de cruce correspondientes.
  11. Trazar una recta que una D y F.
  12. El punto de cruce con la primera circunferencia será G.
  13. Trazar una recta que una D y E.
  14. El punto de cruce con la segunda circunferencia será H.
  15. Trazar un arco con centro en A y radio AH.
  16. Trazar otro arco con centro en B y radio AH.
  17. El punto de corte será N.
  18. Unimos los puntos para conseguir el pentágono.

Experimento interactivo 77: Construir un pentángono regular conocido el lado. Segundo método.


  • Problema 78

Enunciado

Construir un pentágono regular conocida la altura.

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Datos

  1. La altura del pentágono a construir.

Solución

  1. Dibuje una recta r.
  2. Marque un punto de la recta (A).
  3. Marque otro punto de la recta (C).
  4. El segmento AC será la altura del pentágono.
  5. Trazamos la perpendicular a r que pasa por A (s).
  6. Trazar la circunferencia c con centro en A y radio AC.
  7. Los puntos de corte de c con s serán B y D.
  8. Trazamos la mediatriz m del segmento AB.
  9. El punto de corte de m y s será M.
  10. Trazar un arco con centro en M y radio MD.
  11. El punto de corte con m será el punto E.
  12. Trazar la recta t que une B y E.
  13. Trazamos la paralela a t que pasa por C (v).
  14. El punto de cruce entre v y s será F.
  15. Trazar un arco con centro en A y radio AF.
  16. El punto de corte con s será G.
  17. Trazar un arco con centro en C y radio GF.
  18. Trazar un arco con centro en G y radio GF.
  19. El punto de corte será el punto H.
  20. Trazar un arco con centro en C y radio GF.
  21. Trazar un arco con centro en F y radio GF.
  22. El punto de corte será el punto I.
  23. Unimos los puntos para conseguir el pentágono.

Experimento interactivo 78: Construir un pentágono regular conocida la altura.  


    Problema 79

Enunciado

Construir el hexágono regular conocido el lado.

Image

Datos

  1. El lado del hexágono a construir.

Solución

  1. Dibuje una recta r.
  2. Marque un punto de la recta (O).
  3. Marque otro punto de la recta (A).
  4. El segmento O-A será el lado del hexágono.
  5. Trazar una circunferencia c con centro O y radio OA.
  6. El punto de cruce de r con c será D.
  7. Trazar un arco con centro en A y radio OA.
  8. Los puntos de corte con c serán B y F.
  9. Trazar un arco con centro en D y radio OA.
  10. Los puntos de corte con c serán E y C.
  11. Unimos los puntos para conseguir el hexágono.
n

Experimento interactivo 79: Construir el hexágono regular conocido el lado.


  • Problema 80

Enunciado

Construir el hexágono regular conocida la distancia entre caras.

Image

Datos

  1. La distancia entre dos caras opuestas del hexágono a construir.

Solución

  1. Dibuje una recta t.
  2. Marque un punto de la recta (O2).
  3. Marque otro punto de la recta (O4).
  4. El segmento O4-O2 será la distancia entre caras.
  5. Trazamos la perpendicular a t que pase por O4 (r).
  6. Trazamos la perpendicular a t que pase por O2 (s).
  7. Dibuje una circunferencia cualquiera con centro en O2 (c).
  8. El punto de corte de c con s será el punto D.
  9. Trazar un arco con centro en D y radio O2-D.
  10. El punto de corte con c será el punto E.
  11. Trazamos la recta u que une E y O2.
  12. El punto de corte de r con u será O5.
  13. Trazar un arco con centro en O2 y radio O4-O5.
  14. El punto de corte con s será el punto O1.
  15. Trazamos la mediatriz m1 del segmento O5-O2.
  16. El punto de corte de m1 con u será M.
  17. r
    Trazamos la paralela a r que pasa por M (m).
  18. Trazar un arco con centro en M y radio O4-O5.
  19. El punto de corte con m será el punto O6.
  20. Trazar un arco con centro en M y radio O4-O5.
  21. El punto de corte con m será el punto O3.
  22. Unimos los puntos para conseguir el hexágono.

Experimento interactivo 80: Construir el hexágono regular conocida la distancia entre lados.   ;


  • Problema 81

Enunciado

Construir el octógono conocido el lado.

Image

Datos

  1. El lado del octógono a construir.

Solución

  1. Dibuje una recta r.
  2. Marque un punto de la recta (O1).
  3. Marque otro punto de la recta (O2).
  4. El segmento O1-O2 será el lado del octógono.
  5. Trazamos la mediatriz m del segmento O1-O2.
  6. El punto medio del segmento será M.
  7. Trazar un arco con centro en M y radio M-O1.
  8. El punto de corte con m será S.
  9. Trazar un arco con centro en S y radio S-O1.
  10. El punto de corte con m será O.
  11. Traza r la circunferencia c con centro en O y radio O-O2.
  12. Expandimos la longitud O1-O2 por la circunferencia c.
  13. Unimos los puntos para conseguir el octógono.

Experimento interactivo 81: Construir el octógono regular conocido el lado.  


  • Problema 82

Enunciado

Construir el octógono regular conocida la diagonal menor.

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Datos

  1. La diagonal menor del octógono a construir.

Solución

  1. Dibuje una recta r.
  2. Marque un punto de la recta (O8).
  3. Marque otro punto de la recta (O2).
  4. El segmento O8-O2 será la diagonal del octógono.
  5. Trazamos la mediatriz m del segmento O8-O2.
  6. El punto medio del segmento será M.
  7. Trazar una circunferencia (c) con centro en M y radio M-O2.
  8. El punto de corte con m será el punto O.
  9. Trazar una circunferencia c1 con centro en O y radio O-O2.
  10. Los puntos de corte de c1 con m serán O5 y O1.
  11. Trazamos la mediatriz s del segmento O1-O5.
  12. Los puntos de corte de c1 con s serán O7 y O3.
  13. Trazar un arco con centro en O5 y radio O1-O2.
  14. Los puntos de corte con c1 con m serán O6 y O4.
  15. Unimos los puntos para conseguir el octógono.

Experimento interactivo 82: Construir el octógono regular conocida la diagonal menor.  


  • Problema 83

Enunciado

Construir el decágono regular conocido el lado.

Image

Datos

  1. El lado del decágono a construir.

Solución

  1. Dibuje una recta r.
  2. Marque un punto de la recta (O1).
  3. Marque otro punto de la recta (O2).
  4. El segmento O1-O2 será el lado del decágono.
  5. Trazamos la mediatriz m del segmento O1-O2.
  6. n Nos quedamos con M, el punto medio del segmento.
  7. Trazamos la perpendicular a r que pasa por O2 (s).
  8. Trazamos un arco de circunferencia con centro en O2 y radio O2-M.
  9. Y nos quedamos con el punto de corte con s (S).
  10. Trazamos una circunferencia con centro en S y radio S-O2.
  11. Trazar la recta que une O1-S.
  12. El punto de corte de la recta con la circunferencia será P.
  13. Trazar un arco con centro en O1 y radio O1-P.
  14. El punto de corte con m será el O.
  15. Trazar la circunferencia c con centro O y radio O-O2.
  16. Expandimos la longitud O1-O2 por la circunferencia c.
  17. Unimos los puntos para conseguir el decágono.

Experimento interactivo 83: Construir el decágono regular conocido el lado.  


  • Problema 84

Enunciado

Construir el decágono regular conocido el lado. Segundo método.

Image

Datos

  1. El lado del decágono a construir.

Solución

  1. Dibuje una recta r.
  2. Marque un punto de la recta (O1).
  3. Marque otro punto de la recta (O2)..
  4. El segmento O1-O2 será el lado del decágono.
  5. < li>
    Trazamos la mediatriz m del segmento O1-O2.
  6. Nos quedamos con M, el punto medio del segmento.
  7. Trazamos la perpendicular a r que pasa por O2 (s).
  8. Trazar un arco con centro en O2 y radio O2-O1.
  9. Que corta a s en S.
  10. Trazar un arco con centro en M y radio MS.
  11. Que corta a r en C.
  12. Trazar un arco con centro en O1 y radio O1-C.
  13. El punto de corte con m será el punto O.
  14. Trazamos la circunferencia c con centro en O y radio O-O2.
  15. Expandimos la longitud O1-O2 por la circunferencia c.
  16. Unimos los puntos para conseguir el decágono.

Experimento interactivo 84: Construir el decágono regular conocido el lado. Segundo método.  


  • Problema 85

Enunciado

Construir el dodecágono regular conocido el lado.

Image

Datos

  1. El lado del dodecágono a construir.

Solución

  1. Dibuje una recta r.
  2. Marque un punto de la recta (O1).
  3. Marque otro punto de la recta (O2).
  4. El segmento O1-O2 será el lado del decágono.
  5. Trazamos la medi atriz m del segmento O1-O2.
  6. Nos quedamos con M, el punto medio del segmento.
  7. Trazar un arco con centro en O1 y radio O1-O2.
  8. Trazar un arco con centro en O2 y radio O1-O2.
  9. Los dos arcos se cortan en S.
  10. Trazar otro arco con centro en S y radio S-O1.
  11. Que corta a m en O.
  12. Trazar una circunferencia con centro en O y radio O-O2.
  13. Expandimos la longitud O1-O2 por la circunferencia c.
  14. Unimos los puntos para con seguir el dodedecágono.

Experimento interactivo 85: Construir el dodecágono regular conocido el lado.  


  • Problema 86

Enunciado

Construir el hexadecágono regular conocido el lado.

Image

Datos

  1. El lado del hexadecágono a construir.

Solución

  1. Dibuje una recta r.
  2. Marque un punto de la recta (O1).
  3. Marque otro punto de la recta (O2).
  4. El segmento O1-O2 será el lado del hexadecágono.
  5. Trazamos la mediatriz m del segmento O1-O2.
  6. El punto medio del segmento será M.
  7. Trazar un arco con centro en M y radio M-O1.
  8. El punto de corte con m será S.
  9. Trazar un arco con centro en S y radio S-O1.
  10. El punto de corte con m será S'.
  11. Trazar un arco con centro en S' y radio S'-O1.
  12. El punto de corte con m será O.
  13. Trazar la circunferencia c con centro en O y radio O-O2.
  14. Expandimos la longitud O1-O2 por la circunferencia c.
  15. Unimos los puntos para conseguir el hexadecágono.

Experimento interactivo 86: Construir el hexadecágono regular conocido el lado.  


	Bibliografía
	
  • Dibujo técnico. I, Trazado geométrico / Mario González Monsalve, Julián Palencia Cortés 
  • Métodos gráficos de resolución de problemas geométricos / Gonzalo Sánchez Vázquez
Última actualización el Miércoles 22 de Abril de 2009 20:51